Peters Mathematik

Manchmal habe ich Lust, ein bißchen Mathe zu machen, und was mich schon immer interessiert hat, ist, wie man die Länge eines Funktionsgraphenabschnitts berechnen kann.
Dazu habe ich im Urlaub ein numerisches Verfahren entwickelt und am 5.9.2009 hier veröffentlicht
Es ist recht offensichtlich und von daher vermute ich, daß es schon vorher jemand entdeckt und benannt hat, aber wenn nicht, dann heißt es ab sofort das "Peter-Schütt-Verfahren" ;-).

Aufgabenstellung

Gegeben ist eine Funktion f(x), auf der man für einen Abschnitt die Länge des Funktionsgraphen ermitteln will. Zumindest für diesen Interval muß die Funktion stetig sein.

Symbolisches Verfahren

Die Länge

s

eines Graphenabschnitts von

x_{1}

bis

x_{2}

einer differenzierbaren Funktion

f

kann mit folgender Formel berechnet werden:

$s = \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$

Ich habe für mich persönlich diese Formel für die simple Funktion $f (x) = a x$ nachvollzogen. Das ist zwar kein Beweis, aber half mir beim Verständnis.

Da man nicht immer automatisch eine Stammfunktion finden kann, ist ein numerisches Verfahren sinnvoll.

Numerisches Verfahren (Peter-Schütt-Verfahren ;-))

Mathematische Beschreibung

Gegeben ist eine Funktion, welche im gewünschten Interval

[x_{0}; x_{n}]

stetig ist.

Zur numerischen Berechnung wird dieser Abschnitt in $n$ gleich lange Intervalle unterteilt.

Für jedes Intervall $i (i = 1,..., n)$ wird die Mitte des Intervalls berechnet:

${x̅}_{i} = \frac{x_{i-1} + x_{i}}{2} Durch die Punkte (x_{i-1}, f (x_{i-1})), ({x̅}_{i}, f ({x̅}_{i})) und (x_{i}, f (x_{i})) wird ein Kreisbogen gelegt, dessen Länge L_{i} berechnet wird. Wenn man diese drei Punkte als Dreieck betrachtet, dann ist der Kreisbogen ein Teil des Umkreises.$

Die Gesamtlänge der Graphenabschnitts $L$ ist dann die Summe der Längen der einzelnen Kreisbögen:

$L = \sum_{i = 1}^{n} L_{i}$

Die Länge des Kreisbogens

L_{i}

wird folgendermaßen berechnet:

Alle drei Punkte sind auf einer Gerade

Falls

\frac{f ({x̅}_{i}) - f (x_{i-1})}{{x̅}_{i} - x_{i-1}} = \frac{f (x_{i+1}) - f ({x̅}_{i})}{x_{i+1} - {x̅}_{i}}

liegen die drei Punkte auf einer Gerade. In diesem Fall gilt

$L_{i} = \sqrt{{(f (x_{i}) - f (x_{i-1}))}^{2} + {(x_{i} - x_{i-1})}^{2}}$

Die drei Punkte sind nicht collinear (echter Kreisbogen)

Dazu braucht man die Entfernung

m_{i}

von

x_{i-1}

bis

x_{i}

und den Radius

r_{i}

. Für den Radius braucht man den Mittelpunkt

(x_{m_{i}}, y_{m_{i}})

des Umkreises und dann kann man durch den Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten des Dreiecks aus

$(x_{i-1}, f (x_{i-1}))$ , $({x̅}_{i}, f ({x̅}_{i}))$ und $(x_{i}, f (x_{i}))$

ermitteln.

$m_{i} = \frac{f (x_{i}) - f (x_{i-1})}{x_{i} - x_{i-1}}$

$r_{i} = \sqrt{{(f (x_{i}) - y_{m_{i}})}^{2} + {(x_{i} - x_{m_{i}})}^{2}}$

Der Winkel im Radiant (ermittelbar durch den Sinussatz) entspricht der Länge des Kreisbogens im Einheitskreis und muss dann nur noch mit dem Radius

r

multipliziert werden.

$L_{i} = r_{i} \cdot \arcsin (\frac{m_{i}}{2 r_{i}})$

Noch einmal in Kurzform...

Skizze
Für den Kreisbogen von $x_{i-i}$ bis $x_{i}$ wird die Länge berechnet und dann die Summe aller dieser Längen ergibt näherungsweise die Länge des Funktionsabschnitts.
Den Kreisbogen ermittelt man über den Umkreis des Dreiecks, welches sich aus $x_{i-i}$ , ${x̅}_{i}$ und $x_{i}$ ergibt.
Zu diesem Verfahren hat mich das Simpsonverfahren inspiriert.

Dieses Verfahren ist in Peters Calculator implementiert.

So könnt ihr mich erreichen:

Peter Schütt
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Tel.: 02174/7959011
Fax.: 02174/731925

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